Matematica unico linguaggio?

Che senso ha aver dedicato gli anni della gioventù a comprendere il mondo per mezzo della matematica se poi non puoi spiegarlo se non per mezzo della matematica? È questa la mia prossima sfida

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Costa frattale

I flutti delle acque marine turbolente, la costa frastagliata, le rocce aspre e rugose, le piante che si biforcano e ramificano fino alle minuscole spine. Nel cielo le nuvole si frammentano in fiocchi, cumuli, frange, filamenti. Un gabbiano dispiega le sue ali come grandi rami che si dipanano in penne fino alle sottilissime piume. All’orizzonte un fulmine si dirama e si ramifica fino a toccare la superficie del mare.

I tre regni animale, vegetale e minerali manifestano indiscutibilmente la loro struttura frattale

Il turbine degli opposti: Yin e Yang

Nella Cina antica gli opposti erano indicati con Yin e Yang.

L’energia Yang è quella più manifesta, il lato illuminato della collina contrapposto al lato in ombra (Yin). Per cui Yang corrisponde al giorno e alle funzioni attive. Al contrario Yin, corrisponde alla notte e alle funzioni passive.

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Taijitu

L’uso di Yin e Yang è esteso in molte branche della saggezza cinese, in particolar modo nel Taoismo e nel Confucianesimo, oltre che in varie discipline, arti marziali e nella divinazione I Ching.

Per mezzo di Yin e Yang, tutti i fenomeni della natura apparentemente contrapposti, sono inizialmente classificati. Sono pertanto Yang: la luce, il sole, il giorno, l’attivo, il caldo, il positivo, il cielo, il fuoco, il maschile, eccetera. In contrapposizione i corrispondenti elementi Yin sono: l’oscurità, la luna, la notte, il passivo, il freddo, il negativo, l’acqua, il femminile, eccetera.

Questi due elementi Yin e Yang apparentemente contrapposti, sono invece considerati dai Cinesi in una modalità inclusiva, analogica. Gli elementi non sono tra loro separati, ma intimamente concorrenti e interdipendenti.

L’oscurità è un concetto reale solo se conosciamo l’effetto della luce. Un cieco dalla nascita non conosce l’oscurità come la conosce chi vede, non conoscendo la luce. Esiste la stagione fredda solo se si è avuta esperienza della stagione calda. Gli opposti esistono poiché ogni elemento legittima l’esistenza della sua negazione.

È per questo che i concetti di Yin e Yang sono nelle filosofie orientali, una modalità di rappresentazione analogica della realtà, analoga e cioè maggiormente aderente alla realtà.

C’è un ben noto simbolo, solitamente ricondotto al Taoismo, che rappresenta le due unità fondamentali dell’universo: il Taijitu.

Abbiamo due elementi in grado di generare il tutto in questo eterno movimento in cui ogni parte si biforca nel suo opposto. Un due, ma non due, apparentemente schematico e opposto, ma così simili da essere unico.

Non a caso il concetto di individuo illuminato (in sanscrito: Buddha) è colui che sa cogliere la vera natura dei fenomeni al di là dell’apparente dualismo, del bene e del male, del passato e del futuro, dell’esistenza e della non esistenza.

Il Buddha, cioè l’illuminato, il risvegliato, in cinese antico è rappresentato per mezzo di un ideogramma che rappresenta proprio tale concetto.

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Ideogramma cinese per Buddha (Fó)

L’elemento a sinistra, una linea verticale sormontata da una obliqua, rappresenta un essere umano. A destra vi sono due linee verticali attorcigliate da un terzo elemento a guisa di corda o serpente. Esso rappresenta un legame che unisce le due linee. Per cui il Buddha, cioè l’essere umano illuminato, è colui che percepisce la vera natura dei fenomeni, l’unità dall’apparente dualismo, la terza via, la via di mezzo unificante tutte le cose. Egli non vede un mondo diverso da ciò che vediamo tutti, ma non lo delimita, non lo misura, non lo divide nella maniera dell’uomo comune.

Il frattale di Mandelbrot

Oggi vi accompagno in un viaggio lungo un confine tra il finito e l’infinito. È l’insieme di Mandelbrot osservando lungo un continuo ingrandimento del suo perimetro. Osservatene la proprietà di “autosomiglianza”, cioè forme che somigliano all’insieme ma che allo stesso tempo sono uniche. Come somiglia tutto ciò alle strutture che osserviamo in natura?

L’aspetto frattale della natura

Davanti ai vostri occhi avete la varietà della natura, con i suoi colori di ogni genere, le sue forme differenti, il suo aspetto più puro e primordiale. Adesso provate a dare una forma a tutti questi oggetti. Probabilmente userete forme geometriche di quelle che vi hanno insegnato a scuola: cerchi, quadrati, cilindri, sfere. Ai vostri occhi in prima approssimazione direte che un tronco è un cilindro, mentre la chioma una sfera o un cono a seconda che si tratti di una quercia o di un abete. La sabbia di una spiaggia tende a disegnare delle dolci ondine, degli archi possiamo dire. Un ruscello può apparirvi come un lungo nastro dritto o sinuoso e fatto di seni e segmenti di curva. Certo, aggiungerete, nulla segue perfettamente una forma geometrica. Nulla in natura è disegnata da perfette forme geometriche. Insomma, la natura non è poi così perfetta, almeno su questa terra.c62ee4559ca391a822f0a19a039763aa.png

Adesso osserviamo con maggiore attenzione. Disegnare un tronco mediante un cilindro è una approssimazione per un bambino, ma la realtà è ben diversa. La corteccia risulta essere parecchio rugosa, mentre il tronco non procede quasi mai in direzione perfettamente dritta. A volte presenta protuberanze, tende a cambiare di spessore e ovviamente presenta ramificazioni.

Lo stesso discorso possiamo farlo per la chioma dell’albero. Se addirittura ci arrampichiamo sui rami, entriamo dentro la chioma, ci rendiamo conto che di sferico non ha proprio nulla: diversi rami e ulteriori ramificazioni, foglie e magari frutti, in una modalità più o meno disordinata. Siamo sicuri di avere gli strumenti giusti, cioè forme geometriche fondamentali, per rappresentare la forma di un albero?nuvole-640x400.jpg

Un grande scienziato ancora vivente, di nome Benoit Mandelbrot, ha dedicato la vita a questo problema. Nel suo libro “La geometria frattale della natura” egli pose la domanda sul perché la geometria appare così fredda e schematica. La ragione, secondo lui, è proprio perché la geometria basata su linee, cerchi e poligoni è incapace di descrivere forme naturali quali nuvole, montagne, spiagge o alberi. Le nuvole, scriveva, non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono archi e nemmeno i fulmini sono tracciati lungo percorsi dritti, ma sono assai frastagliati.

La geometria tradizionale quindi non è il miglior mezzo per descrivere la natura. Secondo Mandelbrot serve una geometria diversa. Appunto una nuova geometria “naturale” che va sotto il nome di geometria frattale.

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Questa foglia di felce che osservate, in realtà è un disegno frattale dove la forma è ripetuta a scale diverse. Questa proprietà si chiama autosomiglianza. È una proprietà che sembra essere presente in ogni struttura naturale.

Il frattale di Mandelbrot

Il frattle di Mandelbrot è il più incredibile. In termini matematici rappresenta l’insieme dei punti C sul piano complesso per cui la mappa complessa

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converge cioè tende ad un valore finito. L’area esterna a questo insieme è, di conseguenza, l’insieme dei punti. Essa è rappresentata di seguito:

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Cosa ha di particolare questa figura? Innazitutto presenta caratteristiche di autosomiglianza cioè se osserviamo il contorno noteremo la ripetizione di forme simili alla forma principale. Questa caratteristica si ripete a diverse scale di ingrandimento.

È possibile osservare questo confine per mezzo di elaborazione al computer. Su youtube troverete molti video interessanti, come questo:

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Il rapporto aureo

I Greci avevano compreso come l’estetica di una qualsiasi costruzione dovesse seguire il principio di proporzionalità che doveva ripetersi nella interezza e nelle singole parti di ogni costruzione. Nonostante le costruzioni fossero geometriche e ben poco frattali, avevano forse già compresa la bellezza insita nelle proporzioni che sono alla base delle strutture naturali, una sorta di estetica naturale.

Che forma ha un albero?

Avete mai provato a dare una forma ad un albero? Probabilmente userete forme geometriche di quelle che vi hanno insegnato a scuola: Tree-Free-PNG-Imagecerchi, quadrati, cilindri, sfere. Ai vostri occhi in prima approssimazione direte che un tronco è un cilindro, mentre la chioma una sfera o un cono a seconda che si tratti di una quercia o di un abete.

Analogamente la sabbia di una spiaggia tende a disegnare delle dolci ondine, degli archi possiamo dire. Un ruscello può apparirvi come un lungo nastro dritto o sinuoso e fatto di seni e segmenti di curva.

Se non ci limitiamo all’insieme, ma osserviamo ogni singolo dettaglio di ogni oggetto naturale ci rendiamo conto che nulla segue perfettamente una forma geometrica. Nulla in natura è disegnata da perfette forme geometriche. Insomma, la natura non è poi così geometrica.

Questo problema è stato posto alla fine degli anni 70 da un famoso matematico ancora vivente, Benoit Mandelbrot che parlò di una nuova geometria, una geometria naturale…

È tutto troppo complesso?

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Quante volte ci siamo detti che la vita è complicata, difficile comprendere gli eventi che ci accadono e prendere le giuste decisioni? Quante volte siamo rimasti meravigliati della complessità di una nuvola, della unicità della forma di un albero e delle forme della vita?

La complessità del mondo e della nostra vita sfuggono anche ai più sofisticati mezzi della logica e ci fanno sentire smarriti e inadeguati a comprendere i meccanismi per condurre la nostra vita e realizzarla.
Sembra che alla base di tutti i fenomeni naturali l’unica legge sia quella del caos.

Ma può il caos essere compreso, o meglio, possiamo diventare padroni della nostra vita attraverso la comprensione che alla base di ogni fenomeno ci sia il caos?